電力系統(tǒng)微機(jī)保護(hù)算法的對(duì)比分析
研究電力系統(tǒng)微機(jī)保護(hù)算法的目的在于找出好的算法,使之在滿足工程精度和響應(yīng)速度要求的前提下,盡可能減少數(shù)據(jù)采集量和計(jì)算時(shí)間，減少對(duì)輸入數(shù)據(jù)的特定要求。對(duì)此,人們已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究,提出了許多適于微機(jī)保護(hù)的計(jì)算方法。下面對(duì)常用的交流采樣算法作簡(jiǎn)單介紹并分析其各自的優(yōu)缺點(diǎn)。
1、正弦函數(shù)模型的算法
所謂正弦函數(shù)模型的算法就是假設(shè)被采樣的信號(hào)電壓、電流均是頻率已知的正弦波，不含有非周期分量，也不含有其他諧波，如何從中計(jì)算出電壓、電流的幅值和相位的方法。
1.1兩點(diǎn)乘積算法
兩點(diǎn)乘積算法對(duì)電路中電壓和電流在任意時(shí)刻進(jìn)行相隔4/T采樣，通過(guò)計(jì)算獲得電壓和電流的有效值、有功功率和無(wú)功功率。對(duì)工頻交流電而言，兩點(diǎn)乘積法的數(shù)據(jù)窗為T(mén)/4＝5ms，它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單快速，克服了一點(diǎn)采樣法要求輸入對(duì)稱三相電流和電壓的缺點(diǎn)，但是它同樣沒(méi)有濾波作用，而且受直流分量影響最大。兩點(diǎn)乘積法對(duì)采樣的時(shí)間要求精確等于T/4,否則將會(huì)產(chǎn)生誤差。
根據(jù)電流 I 和電壓U求阻抗R、X的公式為：
兩點(diǎn)乘積算法其數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度為1/4周期，對(duì)50Hz工頻而言為5ms。實(shí)際上，正弦量任何兩點(diǎn)相鄰的采樣值都可以算出有效值和相角，即可以使兩點(diǎn)乘積算法所需要的數(shù)據(jù)窗僅為很短的一個(gè)采樣間隔。
1.2半周積分算法
半周積分算法的原理是一個(gè)正弦量在任意半個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)值的積分為一常數(shù)。半周積分法需要的數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度為10ms,算法本身有一定的濾波能力。偶次高頻分量的正負(fù)半周在工頻半周積分中完全相互抵銷(xiāo), 奇次諧波雖未能完全抵銷(xiāo), 但其影響也小多了,它不能抑制直流分量, 故必要時(shí)可另配簡(jiǎn)單的差分濾波器或用電抗變換器來(lái)削弱電流中非周期分量的影響。對(duì)于運(yùn)算精度要求不高的保護(hù)而言, 使用該算法可以提高保護(hù)裝置在嚴(yán)重故障情況下的動(dòng)作速度。
1.3導(dǎo)數(shù)算法
導(dǎo)數(shù)算法也叫做微分法。這種算法只需要知道輸入正弦量在某一時(shí)刻t1的采樣值和該時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，即可算出其有效值和初相位。以電流為例，設(shè)i1為t1時(shí)刻的電流瞬時(shí)值，表達(dá)式為:
則此時(shí)刻電流的導(dǎo)數(shù)為：
(3)式和(4)式相除得：
以上表明，只要知道電流在某一時(shí)刻的采樣值和導(dǎo)數(shù)，就可以求出電流的有效值和初相位。同理也可以利用上式原理求出電壓的有效值和初相位。該算法實(shí)質(zhì)上是利用了正弦的導(dǎo)數(shù)與其自身具有90°相位差的性質(zhì)，所以它與兩點(diǎn)算法本質(zhì)上是一致的。本算法主要應(yīng)用于配電系統(tǒng)電壓、電流的保護(hù)。
上述幾種算法都是從電壓、電流為純正弦波的情況出發(fā)的。由于這些算法都是基于被采樣的電壓和電流是純正弦波變化, 而實(shí)際在發(fā)生故障時(shí), 往往是在基波的基礎(chǔ)上疊加有衰減的非周期分量和各種高頻分量, 因此要求微機(jī)保護(hù)裝置對(duì)輸入的電流、電壓信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理, 盡可能地濾除非周期分量和高頻分量, 否則計(jì)算結(jié)果將會(huì)出現(xiàn)較大的誤差?！ ?
2、隨機(jī)模型的算法
由前面分析可知,電力系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)電壓、電流函數(shù)主要包括3個(gè)分量,這些分量的大小值、頻率均是隨機(jī)的函數(shù)。對(duì)于輸入信號(hào)的擬合建模,可以通過(guò)采樣窗口的周期延拓,將輸入信號(hào)擬合于存在有限整倍數(shù)頻率分量的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)輸入信號(hào)只存在有限倍數(shù)頻率分量時(shí),這種擬合是精確的。
2.1最小二乘濾波算法
最小二乘濾波算法在實(shí)用上,最常用的模型是線性化的衰減直流分量加上基頻分量和整數(shù)倍數(shù)的諧波分量。對(duì)帶有衰減直流分量的周期函數(shù), 或?qū)Ψ侵芷诤瘮?shù)作周期延拓的情況下, 這種方法與傅氏算法結(jié)果是一樣的。該算法是假定輸入信號(hào)是由衰減直流分量和有限項(xiàng)的整數(shù)倍諧波分量組成的, 將輸入信號(hào)最大限度地?cái)M合于這一函數(shù)模型, 并將擬合過(guò)程中剩余的部分作為誤差量, 使其均方值減到最小。因此, 該算法也存在誤差。目前所采用的最小二乘算法大多將擬合函數(shù)選擇為包含直流、基頻和幾種低次諧波分量，例如, 若不計(jì)直流分量的衰減, 擬合函數(shù)可選擇為：
式中：xrj、xij——第 j 次諧波頻率的“實(shí)部”和“虛部”。
根據(jù)殘差平方和最小的原則，可得到待估計(jì)參數(shù)xrj、xij的估計(jì)方程。
最小二乘算法從頻域的角度來(lái)說(shuō)相當(dāng)于一全波零點(diǎn)濾波器。當(dāng)擬合函數(shù)包含有第j次諧波分量時(shí), 相當(dāng)于在該次諧波頻率處設(shè)置一零點(diǎn)。常規(guī)最小二乘算法在實(shí)際使用時(shí), 其擬合模型的選擇應(yīng)與前置低通濾波器相配合, 使得未包含于擬合模型中的高頻分量能夠得到很好抑制，然而, 就目前所采用的各類低通濾波器而言，為保證算法具有較好的估計(jì)精度, 擬合模型不得不擴(kuò)大以包含所有通過(guò)低通濾波器的諧波分量, 這將使得計(jì)算量顯著增加, 數(shù)據(jù)窗也較長(zhǎng)。因此, 最小二乘算法未能在微機(jī)距離保護(hù)中得到廣泛采用。
2.2卡爾曼濾波算法
卡爾曼濾波算法是最優(yōu)估計(jì)理論中的一種常用算法, 它主要用于隨時(shí)問(wèn)變化的狀態(tài)量的估計(jì)?？柭鼮V波算法與常規(guī)最小二乘算法的主要差別在于卡氏算法計(jì)及了噪聲分量的衰減，因此, 對(duì)不同時(shí)刻的殘差平方值，依據(jù)此時(shí)刻的噪聲方差的大小施以不同的加權(quán)系數(shù)，而常規(guī)最小二乘算法則不考慮噪聲衰減, 各時(shí)刻加權(quán)系數(shù)相同。其次, 卡爾曼濾波算法采用遞推計(jì)算模式, 具有可變的數(shù)據(jù)窗，當(dāng)采樣值增多時(shí), 算法的數(shù)據(jù)窗自動(dòng)加長(zhǎng), 從而使濾波性能得到改善?？ㄊ纤惴ǖ倪@一變數(shù)據(jù)窗特性對(duì)構(gòu)成具有反時(shí)限動(dòng)作特性的距離保護(hù)來(lái)說(shuō)具有重要意義。
卡爾曼濾波算法在實(shí)用中存在的主要問(wèn)題是需事先給定隨機(jī)噪聲的經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析的有關(guān)參數(shù)以及遞推估計(jì)的初始啟動(dòng)值，這通常是十分困難的事實(shí), 考慮到故障后的穩(wěn)態(tài)分量受故障點(diǎn)位置、系統(tǒng)運(yùn)行方式、故障初相角等隨機(jī)因素的影響，事先難以作出較準(zhǔn)確的估計(jì)。因此, 實(shí)際使用時(shí)一種合理的做法是將初始估計(jì)位取為零，而初始估計(jì)誤差方差取為充分大, 即認(rèn)為對(duì)故障后的穩(wěn)態(tài)量無(wú)任何驗(yàn)前知識(shí)。這樣, 有關(guān)濾波參數(shù)確定將簡(jiǎn)化成只包含噪聲方差的衰減時(shí)間常數(shù)和直流分量的衰減時(shí)間常數(shù)。
3、基于周期函數(shù)模型算法
基于周期函數(shù)模型算法是將輸入信號(hào)看作周期性函數(shù), 或者可以近似地作為周期函數(shù)處理。當(dāng)信號(hào)是周期函數(shù)時(shí), 它可以被分解為一個(gè)函數(shù)序列之和, 即級(jí)數(shù), 這是在時(shí)域的表現(xiàn)，從頻域看,周期函數(shù)可以用一系列離散的頻率分量表示。
3.1全波傅氏算法
根據(jù)傅氏級(jí)數(shù)理論, 并加以離散化, 可得到全波傅氏算法的計(jì)算公式：
經(jīng)采樣后, 連續(xù)量變?yōu)殡x散量, 積分變?yōu)榍箅x散和：
式中：k——一個(gè)周期中的采樣數(shù)為從故障開(kāi)始時(shí)的采樣點(diǎn)序號(hào)。
基波的有效值為：，全波傅氏算法的優(yōu)點(diǎn)是精度高、濾波效果好，能濾除直流分量、n/2次諧波分量, 且穩(wěn)定性好。但這種算法需要一個(gè)周期內(nèi)的n個(gè)采樣數(shù)據(jù), 其數(shù)據(jù)窗為一個(gè)整周期T, 即20ms,所以響應(yīng)速度較慢。為了提高保護(hù)的速動(dòng)性, 需要研究響應(yīng)速度更快的濾波算法。
3.2半波傅氏算法
根據(jù)傅氏級(jí)數(shù)理論, 并加以離散化, 可得到半波傅氏算法的計(jì)算公式：
經(jīng)采樣后, 積分變?yōu)榍箅x散和:
半波傅氏算法的特點(diǎn)是所需的數(shù)據(jù)窗比較短, 相當(dāng)于全波傅氏算法的一半, 響應(yīng)速度快, 但其濾波功能較弱, 不能濾除偶次諧波和直流分量。
4、結(jié)束語(yǔ)
微機(jī)保護(hù)算法是微機(jī)保護(hù)研究的重點(diǎn), 微機(jī)保護(hù)不同功能的實(shí)現(xiàn),主要依靠其不同的算法完成。在高壓超高壓電力系統(tǒng)中，由于鐵磁元件的非線性、輸電線的分布電容和補(bǔ)償電容以及電壓互感器、電流互感器的二次暫態(tài)過(guò)程的影響，使輸入信號(hào)中含有大量的非周期分量和隨機(jī)的非整數(shù)倍頻分量。為保證計(jì)算精度，對(duì)距離保護(hù)、差動(dòng)保護(hù)等，應(yīng)考慮采用隨機(jī)函數(shù)模型的算法。對(duì)于輸入信號(hào)中暫態(tài)分量不豐富或計(jì)算精度要求不高的保護(hù)，可采用確定性模型的算法，如低壓網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流主保護(hù)和后備保護(hù)。
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1、正弦函數(shù)模型的算法
所謂正弦函數(shù)模型的算法就是假設(shè)被采樣的信號(hào)電壓、電流均是頻率已知的正弦波，不含有非周期分量，也不含有其他諧波，如何從中計(jì)算出電壓、電流的幅值和相位的方法。
1.1兩點(diǎn)乘積算法
兩點(diǎn)乘積算法對(duì)電路中電壓和電流在任意時(shí)刻進(jìn)行相隔4/T采樣，通過(guò)計(jì)算獲得電壓和電流的有效值、有功功率和無(wú)功功率。對(duì)工頻交流電而言，兩點(diǎn)乘積法的數(shù)據(jù)窗為T(mén)/4＝5ms，它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單快速，克服了一點(diǎn)采樣法要求輸入對(duì)稱三相電流和電壓的缺點(diǎn)，但是它同樣沒(méi)有濾波作用，而且受直流分量影響最大。兩點(diǎn)乘積法對(duì)采樣的時(shí)間要求精確等于T/4,否則將會(huì)產(chǎn)生誤差。
根據(jù)電流 I 和電壓U求阻抗R、X的公式為：
兩點(diǎn)乘積算法其數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度為1/4周期，對(duì)50Hz工頻而言為5ms。實(shí)際上，正弦量任何兩點(diǎn)相鄰的采樣值都可以算出有效值和相角，即可以使兩點(diǎn)乘積算法所需要的數(shù)據(jù)窗僅為很短的一個(gè)采樣間隔。
1.2半周積分算法
半周積分算法的原理是一個(gè)正弦量在任意半個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)值的積分為一常數(shù)。半周積分法需要的數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度為10ms,算法本身有一定的濾波能力。偶次高頻分量的正負(fù)半周在工頻半周積分中完全相互抵銷(xiāo), 奇次諧波雖未能完全抵銷(xiāo), 但其影響也小多了,它不能抑制直流分量, 故必要時(shí)可另配簡(jiǎn)單的差分濾波器或用電抗變換器來(lái)削弱電流中非周期分量的影響。對(duì)于運(yùn)算精度要求不高的保護(hù)而言, 使用該算法可以提高保護(hù)裝置在嚴(yán)重故障情況下的動(dòng)作速度。
1.3導(dǎo)數(shù)算法
導(dǎo)數(shù)算法也叫做微分法。這種算法只需要知道輸入正弦量在某一時(shí)刻t1的采樣值和該時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，即可算出其有效值和初相位。以電流為例，設(shè)i1為t1時(shí)刻的電流瞬時(shí)值，表達(dá)式為:
則此時(shí)刻電流的導(dǎo)數(shù)為：
(3)式和(4)式相除得：
以上表明，只要知道電流在某一時(shí)刻的采樣值和導(dǎo)數(shù)，就可以求出電流的有效值和初相位。同理也可以利用上式原理求出電壓的有效值和初相位。該算法實(shí)質(zhì)上是利用了正弦的導(dǎo)數(shù)與其自身具有90°相位差的性質(zhì)，所以它與兩點(diǎn)算法本質(zhì)上是一致的。本算法主要應(yīng)用于配電系統(tǒng)電壓、電流的保護(hù)。
上述幾種算法都是從電壓、電流為純正弦波的情況出發(fā)的。由于這些算法都是基于被采樣的電壓和電流是純正弦波變化, 而實(shí)際在發(fā)生故障時(shí), 往往是在基波的基礎(chǔ)上疊加有衰減的非周期分量和各種高頻分量, 因此要求微機(jī)保護(hù)裝置對(duì)輸入的電流、電壓信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理, 盡可能地濾除非周期分量和高頻分量, 否則計(jì)算結(jié)果將會(huì)出現(xiàn)較大的誤差?！ ?
2、隨機(jī)模型的算法
由前面分析可知,電力系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)電壓、電流函數(shù)主要包括3個(gè)分量,這些分量的大小值、頻率均是隨機(jī)的函數(shù)。對(duì)于輸入信號(hào)的擬合建模,可以通過(guò)采樣窗口的周期延拓,將輸入信號(hào)擬合于存在有限整倍數(shù)頻率分量的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)輸入信號(hào)只存在有限倍數(shù)頻率分量時(shí),這種擬合是精確的。
2.1最小二乘濾波算法
最小二乘濾波算法在實(shí)用上,最常用的模型是線性化的衰減直流分量加上基頻分量和整數(shù)倍數(shù)的諧波分量。對(duì)帶有衰減直流分量的周期函數(shù), 或?qū)Ψ侵芷诤瘮?shù)作周期延拓的情況下, 這種方法與傅氏算法結(jié)果是一樣的。該算法是假定輸入信號(hào)是由衰減直流分量和有限項(xiàng)的整數(shù)倍諧波分量組成的, 將輸入信號(hào)最大限度地?cái)M合于這一函數(shù)模型, 并將擬合過(guò)程中剩余的部分作為誤差量, 使其均方值減到最小。因此, 該算法也存在誤差。目前所采用的最小二乘算法大多將擬合函數(shù)選擇為包含直流、基頻和幾種低次諧波分量，例如, 若不計(jì)直流分量的衰減, 擬合函數(shù)可選擇為：
式中：xrj、xij——第 j 次諧波頻率的“實(shí)部”和“虛部”。
根據(jù)殘差平方和最小的原則，可得到待估計(jì)參數(shù)xrj、xij的估計(jì)方程。
最小二乘算法從頻域的角度來(lái)說(shuō)相當(dāng)于一全波零點(diǎn)濾波器。當(dāng)擬合函數(shù)包含有第j次諧波分量時(shí), 相當(dāng)于在該次諧波頻率處設(shè)置一零點(diǎn)。常規(guī)最小二乘算法在實(shí)際使用時(shí), 其擬合模型的選擇應(yīng)與前置低通濾波器相配合, 使得未包含于擬合模型中的高頻分量能夠得到很好抑制，然而, 就目前所采用的各類低通濾波器而言，為保證算法具有較好的估計(jì)精度, 擬合模型不得不擴(kuò)大以包含所有通過(guò)低通濾波器的諧波分量, 這將使得計(jì)算量顯著增加, 數(shù)據(jù)窗也較長(zhǎng)。因此, 最小二乘算法未能在微機(jī)距離保護(hù)中得到廣泛采用。
2.2卡爾曼濾波算法
卡爾曼濾波算法是最優(yōu)估計(jì)理論中的一種常用算法, 它主要用于隨時(shí)問(wèn)變化的狀態(tài)量的估計(jì)?？柭鼮V波算法與常規(guī)最小二乘算法的主要差別在于卡氏算法計(jì)及了噪聲分量的衰減，因此, 對(duì)不同時(shí)刻的殘差平方值，依據(jù)此時(shí)刻的噪聲方差的大小施以不同的加權(quán)系數(shù)，而常規(guī)最小二乘算法則不考慮噪聲衰減, 各時(shí)刻加權(quán)系數(shù)相同。其次, 卡爾曼濾波算法采用遞推計(jì)算模式, 具有可變的數(shù)據(jù)窗，當(dāng)采樣值增多時(shí), 算法的數(shù)據(jù)窗自動(dòng)加長(zhǎng), 從而使濾波性能得到改善?？ㄊ纤惴ǖ倪@一變數(shù)據(jù)窗特性對(duì)構(gòu)成具有反時(shí)限動(dòng)作特性的距離保護(hù)來(lái)說(shuō)具有重要意義。
卡爾曼濾波算法在實(shí)用中存在的主要問(wèn)題是需事先給定隨機(jī)噪聲的經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析的有關(guān)參數(shù)以及遞推估計(jì)的初始啟動(dòng)值，這通常是十分困難的事實(shí), 考慮到故障后的穩(wěn)態(tài)分量受故障點(diǎn)位置、系統(tǒng)運(yùn)行方式、故障初相角等隨機(jī)因素的影響，事先難以作出較準(zhǔn)確的估計(jì)。因此, 實(shí)際使用時(shí)一種合理的做法是將初始估計(jì)位取為零，而初始估計(jì)誤差方差取為充分大, 即認(rèn)為對(duì)故障后的穩(wěn)態(tài)量無(wú)任何驗(yàn)前知識(shí)。這樣, 有關(guān)濾波參數(shù)確定將簡(jiǎn)化成只包含噪聲方差的衰減時(shí)間常數(shù)和直流分量的衰減時(shí)間常數(shù)。
3、基于周期函數(shù)模型算法
基于周期函數(shù)模型算法是將輸入信號(hào)看作周期性函數(shù), 或者可以近似地作為周期函數(shù)處理。當(dāng)信號(hào)是周期函數(shù)時(shí), 它可以被分解為一個(gè)函數(shù)序列之和, 即級(jí)數(shù), 這是在時(shí)域的表現(xiàn)，從頻域看,周期函數(shù)可以用一系列離散的頻率分量表示。
3.1全波傅氏算法
根據(jù)傅氏級(jí)數(shù)理論, 并加以離散化, 可得到全波傅氏算法的計(jì)算公式：
經(jīng)采樣后, 連續(xù)量變?yōu)殡x散量, 積分變?yōu)榍箅x散和：
式中：k——一個(gè)周期中的采樣數(shù)為從故障開(kāi)始時(shí)的采樣點(diǎn)序號(hào)。
基波的有效值為：，全波傅氏算法的優(yōu)點(diǎn)是精度高、濾波效果好，能濾除直流分量、n/2次諧波分量, 且穩(wěn)定性好。但這種算法需要一個(gè)周期內(nèi)的n個(gè)采樣數(shù)據(jù), 其數(shù)據(jù)窗為一個(gè)整周期T, 即20ms,所以響應(yīng)速度較慢。為了提高保護(hù)的速動(dòng)性, 需要研究響應(yīng)速度更快的濾波算法。
3.2半波傅氏算法
根據(jù)傅氏級(jí)數(shù)理論, 并加以離散化, 可得到半波傅氏算法的計(jì)算公式：
經(jīng)采樣后, 積分變?yōu)榍箅x散和:
半波傅氏算法的特點(diǎn)是所需的數(shù)據(jù)窗比較短, 相當(dāng)于全波傅氏算法的一半, 響應(yīng)速度快, 但其濾波功能較弱, 不能濾除偶次諧波和直流分量。
4、結(jié)束語(yǔ)
微機(jī)保護(hù)算法是微機(jī)保護(hù)研究的重點(diǎn), 微機(jī)保護(hù)不同功能的實(shí)現(xiàn),主要依靠其不同的算法完成。在高壓超高壓電力系統(tǒng)中，由于鐵磁元件的非線性、輸電線的分布電容和補(bǔ)償電容以及電壓互感器、電流互感器的二次暫態(tài)過(guò)程的影響，使輸入信號(hào)中含有大量的非周期分量和隨機(jī)的非整數(shù)倍頻分量。為保證計(jì)算精度，對(duì)距離保護(hù)、差動(dòng)保護(hù)等，應(yīng)考慮采用隨機(jī)函數(shù)模型的算法。對(duì)于輸入信號(hào)中暫態(tài)分量不豐富或計(jì)算精度要求不高的保護(hù)，可采用確定性模型的算法，如低壓網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流主保護(hù)和后備保護(hù)。
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